泰勒公式秒殺高考導(dǎo)數(shù)壓軸題(泰勒公式解高中導(dǎo)數(shù))

基礎(chǔ)知識(shí)

1.帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式

如果函數(shù)ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f(x)'角色='演示'f(x)f(x)在點(diǎn)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x0'role='presentation'x0x_{0}附近有內(nèi)存'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='(n+1)'role='presentation'(n+1)(n+1)階導(dǎo)數(shù)，則鄰域與rame不同tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x0'role='presentation'x0x_{0}在任意時(shí)刻，都有rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)='#x03BE;'角色='呈現(xiàn)'xi\xi之間ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='x'角色='演示文稿'xx和rame'tabindex='0'樣式='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x0'role='presentation'x0x_{0}時(shí)候，使用

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f(x)=f(x0)+f#x2032;(x0)(x#x2212;x0)+f#x2212;(x0)2!(x#x2212;x0)+#x22EF;+f(n)(x0)n!(x#x2212;x0)+Rn(x)'角色='演示'f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+f”(x0)2!(xx0)++f(n)(x0)n!(xx0)+Rn(x)f(x)=f(x_{0})+f(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f(x_{0})}{2!}(x-x_{0})+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})+R_{n}(x)

那么我們就可以得到rame中的幾個(gè)初等函數(shù)'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x0=0'role='presentation'x0=0x_{0}=0處的麥克勞林公式

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='ex=1+x+12!x2+13!x3+#x22EF;'角色='演示'ex=1+x+12!x2+13!x3+\begin{align}e^x=1+x+\frac1{2!}x^2+\frac1{3!}x^3+\cdots\\\end{對(duì)齊}

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='sin#x2061;x=x#x2212;13!x3+15!x5#x2212;17!x7+#x22EF;'角色='演示'sinx=x13!x3+15!x517!x7+\sinx=x-\frac1{3!}x^3+\frac1{5!}{x^5}-\frac1{7!}x^7+\cdots

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='cos#x2061;x=1#x2212;12!x2+14!x4#x2212;16!x6+#x22EF;'角色='演示'cosx=112!x2+14!x416!x6+\cosx=1-\frac1{2!}x^2+\frac1{4!}x^4-\frac1{6!}x^6+\cdots

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='ln#x2061;(1+x)=x#x2212;12x2+13x3#x2212;14x4+#x22EF;'角色='演示'ln(1+x)=x12x2+13x314x4+\ln(1+x)=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\frac14x^4+\cdots

2.得到的不等式

使用麥克勞克林公式，我們可以得到許多不等式。這里有一些例子。

關(guān)于rame的不等式'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='ex'角色='演示'exe^{x}

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='ex#x2265;1+x,x#x2208;R'角色='演示'ex1+x,xR\begin{align}e^x\geq1+x,x\inR\\\結(jié)束{對(duì)齊}

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='ex#x2265;1+x+12!x2,x#x2208;[0,+#x221E;)'角色='演示'ex1+x+12!x2,x[0,+)\begin{align}e^x\geq1+x+\frac1{2!}x^2,x\in\left[0,+\infty\right)\\\end{align}

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='ex#x2265;1+x+12!x2+13!x3,x#x2208;R'角色='演示'ex1+x+12!x2+13!x3,xR\開(kāi)始{對(duì)齊}e^x\geq1+x+\frac1{2!}x^2+\frac1{3!}x^3,x\inR\\\end{align}

關(guān)于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='sin#x2061;x'role='presentation'sinx\sinx不等式

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='sin#x2061;x#x2264;x,x#x2208;[0,+#x221E;)'role='演示'sinxx,x[0,+)\sinx\leqx,x\in\left[0,+\infty\right)

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='sin#x2061;x#x2265;x#x2212;13!x3,x#x2208;[0,+#x221E;)'角色='演示'sinxx13!x3,x[0,+)\sinx\geqx-\frac1{3!}x^3,x\in\left[0,+\infty\right)

證明這些不等式非常簡(jiǎn)單（考試中的大題需要證明）。只需求差、求導(dǎo)即可輕松證明。讀者可以對(duì)rame得出自己的結(jié)論'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='cos#x2061;x'角色='演示'cosx\cosx和rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='ln#x2061;(1+x)'角色='演示'ln(1+x)\ln(1+x)不等式。

幾道例題

1.（2022·全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)）

已知RAM'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='a=3132'角色='演示'a=3132a=\frac{31}{32}，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='b=cos#x2061;14'角色='演示'b=cos14b=\cos\frac{1}{4}，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='c=4sin#x2061;14'role='presentation'c=4sin14c=4\sin\frac{1}{4}，然后()。

A.ba'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='cgt;bgt;a'角色='演示'cbacbaB。ac'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='bgt;agt;c'角色='演示'bacbacC.bc'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='agt;bgt;c'角色='演示'abcabcD.cb'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='agt;cgt;b'role='presentation'acbacb解易智rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x#x2208;(0,1)'role='presentation'x(0,1)當(dāng)x\in\left(0,1\right)時(shí)，有x-\frac1{3!}x^3'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='sin#x2061;xgt;x#x2212;13!x3'角色='演示'sinxx13!x3\sinxx-\frac1{3!}x^3,1-\frac{x^{2}}{2}'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='cos#x2061;xgt;1#x2212;x22'role='presentation'cosx1x22\cosx1-\frac{x^{2}}{2}，則

1-\frac{(\frac{1}{4})^{2}}{2}=\frac{31}{32}=a'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='b=cos#x2061;14gt;1#x2212;(14)22=3132=a'角色='演示'b=cos141(14)22=3132=ab=\cos\frac{1}{4}1-\frac{(\frac{1}{4})^{2}}{2}=\frac{31}{32}=a

4(\frac{1}{4}-\frac{(\frac{1}{4})^{3}}{6})=\frac{95}{96}a'rame'tabindex='0'樣式='字體大?。?00%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='c=4sin#x2061;14gt;4(14#x2212;(14)36)=9596gt;a'角色='演示'c=4sin144(14(14)36)=9596ac=4\sin\frac{1}{4}4(\frac{1}{4}-\frac{(\frac{1}{4})^{3}}{6})=\frac{95}{96}一個(gè)

排除BCD，選擇A。

2.

證明：\frac{3}{2}'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='tan#x2061;1gt;32'角色='演示'tan132\tan1\frac{3}{2}。解決方案一（在rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='x=#x3C0;3'role='presentation'x=3x=\frac{}{3}成rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'data-mathml='y=tan#x2061;x'角色='演示'y=tanxy=\tanx切線)

在rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x=#x3C0;3'角色='演示'x=3x=\frac{}{3}無(wú)處不在'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='y=tan#x2061;x'角色='演示'y=tanxy=\tanx切線'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='y=4(x#x2212;#x3C0;3)+3'角色='演示'y=4(x3)+3y=4(x-\frac{}{3})+\sqrt{3},

讓rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f(x)=tan#x2061;x#x2212;4(x#x2212;#x3C0;3)#x2212;3'角色='演示'f(x)=tanx4(x3)3f(x)=\tanx-4(x-\frac{}{3})-\sqrt{3},

導(dǎo)數(shù)，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f#x2032;(x)=sec2#x2061;x#x2212;4'角色='演示'f(x)=sec2x4f(x)=\sec^{2}x-4,

然后rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f(x)'角色='演示'f(x)f(x)inRAM'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='(1,#x3C0;3)'role='presentation'(1,3)(1,\frac{}{3})單調(diào)遞減，因此f(\frac{}{3})'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f(1)gt;f(#x3C0;3)'role='presentation'f(1)f(3)f(1)f(\frac{}{3})，你可以get\frac{3}{2}'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='tan#x2061;1gt;32'角色='演示'tan132\tan1\frac{3}{2}。

方法2（使用泰勒公式獲得的不等式的縮放）

證明\frac{3}{2}'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='tan#x2061;1gt;32'role='presentation'tan132\tan1\frac{3}{2}，即certificate\frac{3}{2}\cos1'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='sin#x2061;1gt;32cos#x2061;1'角色='演示'sin132cos1\sin1\frac{3}{2}\cos1,

易正拉姆'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x#x2208;(0,1]'role='presentation'當(dāng)x(0,1]x\in\left(0,1\right]時(shí)，有x-\frac1{3!}x^3'rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；position:相對(duì)；color:綠色；'data-mathml='sin#x2061;xgt;x#x2212;13！x3'role='presentation'sinxx13!x3\sinxx-\frac1{3!}x^3,rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;位置：相對(duì)；顏色：綠色；'data-mathml='cos#x2061;xlt;1#x2212;12!x2+14!x4'角色='演示'cosx112!x2+14!x4\cosx1-\frac1{2!}x^2+\frac1{4!}x^4,

應(yīng)用上述公式，證明\frac{3}{2}'rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='tan#x2061;1gt;32'角色='演示'tan132\tan1\frac{3}{2}。

幾道練習(xí)

1.

已知RAM'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='f(x)=sin#x2061;x#x2212;x+mx33'角色='演示'f(x)=sinxx+mx33f(x)=\sinx-x+\frac{mx^{3}}{3},如果對(duì)于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='#x2200;x#x2265;0'角色='演示'x0\forallx\geq0，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f(x)#x2265;0'role='presentation'f(x)0f(x)\geq0始終為真，查找rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='m'角色的取值范圍='presentation'mm。

2.（2020·全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)）

已知函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f(x)=ex+ax2#x2212;x'角色='演示'f(x)=ex+ax2xf(x)=e^{x}+ax^{2}-x。

（1）當(dāng)rame'tabindex='0'style='font-size:100%時(shí)；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='a=1'role='presentation'a=1a=1次，討論rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f(x)'role='表示'f(x)f(x)單調(diào)性；

（2）當(dāng)rame'tabindex='0'style='font-size:100%時(shí)；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x#x2265;0'角色='演示'x0x\geq0，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f(x)#x2265;12x3+1'角色='演示'f(x)12x3+1f(x)\geq\frac{1}{2}x^{3}+1,找到rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='a'role='presentation'aa值范圍。

3.（2020·全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)改編）

已知函數(shù)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f(x)=ex+ax2#x2212;x'角色='演示'f(x)=ex+ax2xf(x)=e^{x}+ax^{2}-x.當(dāng)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='x#x2265;0'角色='演示'x0x\geq0，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='f(x)#x2265;16x3+1'角色='演示'f(x)16x3+1f(x)\geq\frac{1}{6}x^{3}+1,找到rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對(duì)位置：color:綠色；'data-mathml='a'role='presentation'aa值范圍。

寫(xiě)在最后

很多同學(xué)都有疑問(wèn)，高考數(shù)學(xué)需要掌握泰勒公式這樣的高級(jí)概念嗎？事實(shí)上，泰勒公式很基礎(chǔ)，并不像一些學(xué)生想象的那么難。那么掌握泰勒公式有助于解決什么樣的問(wèn)題呢？

需要使用構(gòu)造器比較大小的一類題，如2022年理數(shù)國(guó)卷A第12題（選擇最后一題）、2022年新高考第一卷第7題等。是基于泰勒公式。對(duì)于大導(dǎo)數(shù)題，利用泰勒公式設(shè)題的方法有很多種。通?？梢岳媒K點(diǎn)效應(yīng)來(lái)設(shè)置問(wèn)題。當(dāng)然，還有像2020年全國(guó)第一卷科學(xué)數(shù)學(xué)第21題那樣極值點(diǎn)的處理。總之，我們泰勒公式等高層思想不能忽視，而應(yīng)該深入理解。