單墫 奧數(shù)(奧數(shù)教程單壿)

今年7月，第63屆IMO（國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽）在挪威奧斯陸舉行。中國(guó)隊(duì)以252分的成績(jī)獲得團(tuán)體總成績(jī)第一名，六名隊(duì)員全部獲得滿(mǎn)分。去年，中國(guó)隊(duì)還獲得了團(tuán)體總成績(jī)第一名，并獲得了全場(chǎng)比賽唯一的滿(mǎn)分。

奧數(shù)盛行多年，但始終伴隨著諸多誤解和批評(píng)。很多人質(zhì)疑，既然中國(guó)隊(duì)在IMO上多次獲得金牌，為何至今無(wú)人獲得菲爾茲獎(jiǎng)？奧數(shù)也受到了社會(huì)上的不少批評(píng)，即認(rèn)為奧數(shù)與高等教育掛鉤，增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān)。

那么，奧數(shù)到底是什么？我們需要什么樣的數(shù)學(xué)教育？著名數(shù)學(xué)教育家單燕等學(xué)者發(fā)表觀(guān)點(diǎn)——

公眾對(duì)奧數(shù)的許多誤解和批評(píng)，往往是由于對(duì)奧數(shù)是什么缺乏了解。

奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽是數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽的簡(jiǎn)稱(chēng)。奧數(shù)不是腦筋急轉(zhuǎn)彎。例如，如果樹(shù)上有10只鳥(niǎo)，一槍打死一只鳥(niǎo)，樹(shù)上還剩下多少只鳥(niǎo)？這種題不是數(shù)學(xué)，也不是奧數(shù)。

當(dāng)然，奧數(shù)只是數(shù)學(xué)的一部分。通常教科書(shū)上的數(shù)學(xué)內(nèi)容不是奧數(shù)。奧數(shù)應(yīng)該是數(shù)學(xué)中最有趣、要求最高、最具創(chuàng)意的內(nèi)容。奧數(shù)往往有深厚的底蘊(yùn)和突出的思想，比如一筆圖的問(wèn)題。

回答奧數(shù)題不需要太多的知識(shí)，而是需要能力，比如閱讀能力、理解能力、解決問(wèn)題的能力……奧數(shù)題應(yīng)該有一定的競(jìng)爭(zhēng)性，這樣才能激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。當(dāng)然，競(jìng)賽題比較難，但是當(dāng)我看到答案時(shí)，我覺(jué)得不難，可以解決。只是，有一層紙，無(wú)法刺破。簡(jiǎn)而言之，就像一個(gè)蘋(píng)果掛在你的頭頂上，你必須踮起腳尖才能夠到它。

而且，從高年級(jí)或高等教育中“下移”的知識(shí)，例如小學(xué)中教授排列組合公式，也不是奧數(shù)。加法和乘法原理可以在小學(xué)課外教授，因?yàn)樗鼈兒苡腥ぃ也⒉浑y，但強(qiáng)行將高中知識(shí)轉(zhuǎn)移到小學(xué)是不合適的。就像小學(xué)生跑步一樣，距離一般不適合太長(zhǎng)。跑馬拉松必須等到身體更加成熟之后。奧數(shù)也是如此。太低級(jí)的知識(shí)就不是奧數(shù)。

有些問(wèn)題，比如比較復(fù)雜的應(yīng)用題，用初中的知識(shí)并不難解決，也塞不進(jìn)小學(xué)奧數(shù)。以此類(lèi)推，用高中知識(shí)很容易解決的問(wèn)題就不應(yīng)該塞進(jìn)初中奧數(shù)。

搞奧數(shù)的目的是什么？

舉辦奧數(shù)的目的非常明確。一是發(fā)現(xiàn)并培養(yǎng)具有數(shù)學(xué)才能的人才。

從菲爾茲獎(jiǎng)獲得者的情況來(lái)看。2000年以后，14位菲爾茲獎(jiǎng)獲得者中至少有8位在IMO中獲獎(jiǎng)。如澳大利亞的陶哲軒、越南的吳波珠、英國(guó)的蒂莫西·高爾斯、俄羅斯的格里戈里·佩雷爾曼、法國(guó)的洛朗·拉弗格、伊朗的瑪麗亞姆·米爾扎哈尼。等等，都是IMO獎(jiǎng)牌獲得者。其中PeterScholze確實(shí)是一個(gè)天才。他連續(xù)四屆參加IMO（2004年至2007年）并獲得一枚銀牌和三枚金牌。舒爾茨碩士畢業(yè)時(shí)寫(xiě)的論文創(chuàng)造了一個(gè)新的理論，所以他直接獲得了博士學(xué)位。后來(lái)他成為波恩大學(xué)教授，并獲得拉馬努金獎(jiǎng)、克萊研究獎(jiǎng)、科爾獎(jiǎng)和奧斯特羅斯獎(jiǎng)。基金會(huì)獎(jiǎng)、費(fèi)馬獎(jiǎng)、萊布尼茨獎(jiǎng)、歐洲數(shù)學(xué)會(huì)獎(jiǎng)等獎(jiǎng)項(xiàng)。2018年，他獲得了每四年頒發(fā)一次的菲爾茲獎(jiǎng)。

當(dāng)然，并不是所有有數(shù)學(xué)天賦的人都從事數(shù)學(xué)研究。因?yàn)樗麄兠鎸?duì)的世界非常廣闊，而數(shù)學(xué)研究只是這個(gè)世界的一小部分。IMO選手中有不少?gòu)氖聰?shù)學(xué)研究，如顏華飛、高霞、王松、惲志偉、姚以軍等，也有不少轉(zhuǎn)入其他行業(yè)，如從事數(shù)學(xué)研究的李平利、姜步興等。從事軟件開(kāi)發(fā)的還有從事金融行業(yè)的庫(kù)超、張朝暉等。姚建剛等，甚至從事奧數(shù)教育的王峰、鄒進(jìn)等。

舉辦奧數(shù)的另一個(gè)目的是普及數(shù)學(xué)。因?yàn)閵W數(shù)，數(shù)學(xué)書(shū)籍的數(shù)量增加了很多，數(shù)學(xué)期刊也很多，如《中等數(shù)學(xué)》等，這也隨著奧數(shù)的繁榮促進(jìn)了數(shù)學(xué)的傳播。奧數(shù)還推動(dòng)了數(shù)學(xué)教材的改革。很多數(shù)學(xué)教材都介紹了奧數(shù)題，尤其是課本中的思維題或者“想一想”的內(nèi)容。通過(guò)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽，提高了數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)水平。

數(shù)學(xué)競(jìng)賽只是入門(mén)？

國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)每四年選出數(shù)學(xué)研究工作杰出、年齡不超過(guò)40歲的數(shù)學(xué)家（通常不超過(guò)4名）授予菲爾茲獎(jiǎng)。數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)競(jìng)賽有很大不同。可以說(shuō)，從事數(shù)學(xué)研究的都是職業(yè)選手，而參加IMO的只是業(yè)余選手。IMO的玩家只是中小學(xué)生。他們通常必須上大學(xué)四年，然后再讀研究生。從此我才進(jìn)入研究工作。

更重要的是，數(shù)學(xué)研究需要?jiǎng)?chuàng)造性——獨(dú)一無(wú)二的創(chuàng)造性。

做IMO題固然需要?jiǎng)?chuàng)造力，但那些題都是別人擬定的，已經(jīng)有現(xiàn)成的答案了。搞研究的時(shí)候，往往需要自己去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，更重要的是，需要尋求一條前人沒(méi)有走過(guò)的路來(lái)解決問(wèn)題。

在我看來(lái)，解決問(wèn)題需要時(shí)間，但花費(fèi)數(shù)千小時(shí)甚至一生的研究可能不會(huì)產(chǎn)生結(jié)果。例如，數(shù)學(xué)家張益堂直到六十歲才得出成果。不成功的數(shù)學(xué)研究人員遠(yuǎn)多于成功的數(shù)學(xué)研究人員?？梢?jiàn)，做研究的時(shí)候，你要忍受孤獨(dú)，長(zhǎng)期的孤獨(dú)。在數(shù)學(xué)的象牙塔待久了，難免會(huì)感嘆“日月在蓬萊宮更長(zhǎng)”、“世界那么大，我想出去看看”。由此，很多人告別了數(shù)學(xué)研究。而且，每個(gè)人都有自己的志向，數(shù)學(xué)研究也許不需要太多的人。因此，很多人，尤其是我國(guó)的IMO選手，不從事數(shù)學(xué)研究而是做其他事情，這是可以理解的。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)競(jìng)賽與數(shù)學(xué)研究不無(wú)關(guān)系。它們之間肯定存在正相關(guān)關(guān)系。雖然數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的問(wèn)題已經(jīng)解決了，但對(duì)年輕人來(lái)說(shuō)是很好的鍛煉。就像學(xué)徒一樣，首先學(xué)習(xí)前人的思想和方法，然后逐步提高。數(shù)學(xué)競(jìng)賽是提高的基礎(chǔ)。人的創(chuàng)造力不一定是與生俱來(lái)的。大多是從小創(chuàng)作開(kāi)始，一步步發(fā)展到中等水平的創(chuàng)作。如果你努力并有機(jī)會(huì)，你可能會(huì)有大的創(chuàng)造。數(shù)學(xué)競(jìng)賽是一塊試金石，培養(yǎng)興趣和毅力，開(kāi)闊視野，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，讓青少年接觸廣闊的數(shù)學(xué)世界。

當(dāng)然，比賽只是一個(gè)入門(mén)，后續(xù)的“練習(xí)”還需要很長(zhǎng)很長(zhǎng)的時(shí)間。事實(shí)上，我國(guó)不少I(mǎi)MO選手都從事數(shù)學(xué)研究，并取得了很多成果。許多從事數(shù)學(xué)研究并取得成果的人也參加過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽、學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)奧林匹克，如徐晨陽(yáng)、何旭華、倪毅、袁新一、肖亮、余軍等。成為各自領(lǐng)域的棟梁，并獲得各種獎(jiǎng)項(xiàng)。比如云志偉就獲得了拉馬努金獎(jiǎng)?；蛟S，在不久的將來(lái)，我國(guó)就會(huì)有人獲得菲爾茲獎(jiǎng)。此外，還有很多在其他行業(yè)工作的人取得了驕人的業(yè)績(jī)。

我國(guó)無(wú)人獲得菲爾茲獎(jiǎng)的原因之一可能與缺乏名師有關(guān)。美國(guó)、俄羅斯、法國(guó)、德國(guó)等數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)有多位獲得菲爾茲獎(jiǎng)的人。即使在日本，也有小平邦彥、弘中平佑、森重文等三人獲得過(guò)菲爾茲獎(jiǎng)。有名師，就容易有好弟子。從我國(guó)數(shù)學(xué)的情況來(lái)看，多年來(lái)，我們的發(fā)展遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于世界先進(jìn)國(guó)家。當(dāng)然，追趕需要很長(zhǎng)時(shí)間，不可能一蹴而就。

在此背景下，數(shù)學(xué)競(jìng)賽的興起或?qū)槲覈?guó)數(shù)學(xué)追趕世界先進(jìn)水平創(chuàng)造良好條件。數(shù)學(xué)研究是一座金字塔，不僅需要頂尖人才，還需要各個(gè)層次的人才。目前，我國(guó)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽正在培養(yǎng)眾多各個(gè)層次的人才，頂尖人才應(yīng)該在其中。

我相信時(shí)間會(huì)證明這一點(diǎn)，但不要著急。中國(guó)一旦有了一流的導(dǎo)師，一流的人才就會(huì)不斷涌現(xiàn)。

為什么有一些人反對(duì)奧數(shù)？

確實(shí)有一些人反對(duì)奧數(shù)，但不一定很多，也沒(méi)有做過(guò)統(tǒng)計(jì)。反對(duì)奧數(shù)的理由可能各有不同。他們自己回答會(huì)更準(zhǔn)確。我只能根據(jù)一些評(píng)論來(lái)推測(cè)他們的想法。

反對(duì)的人大多是跟風(fēng)、跟風(fēng)。我什至看到一個(gè)高分考生與奧數(shù)劃清界限，說(shuō)自己沒(méi)學(xué)過(guò)奧數(shù)。結(jié)果有人一搜，發(fā)現(xiàn)她不僅從小就讀過(guò)奧數(shù)學(xué)校，而且還在比賽中獲獎(jiǎng)過(guò)。

有一次，我遇到一個(gè)不太熟悉的朋友，他對(duì)我說(shuō)：“對(duì)不起，我昨天又罵奧數(shù)了。”當(dāng)然，我和奧數(shù)不一樣，罵奧數(shù)并不是批評(píng)我。沒(méi)有必要說(shuō)“對(duì)不起”。但這位朋友是書(shū)法家，顯然不懂奧數(shù)。在批評(píng)奧數(shù)的人中，很大一部分人在學(xué)生時(shí)代就不喜歡甚至討厭數(shù)學(xué)。隨著年齡的增長(zhǎng)，我在奧數(shù)比賽上發(fā)泄了對(duì)數(shù)學(xué)的仇恨。

有的家長(zhǎng)因?yàn)椴荒芙o孩子解決奧數(shù)題，覺(jué)得太丟人了，于是也加入了批評(píng)奧數(shù)的人行列。

其實(shí)數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)的不是盲從，而是懷疑和思考。即使它是來(lái)自老師或權(quán)威，你也要看看它是否能被證明是正確的，然后你才會(huì)相信它。

有人列舉了幾位數(shù)學(xué)家的話(huà)，表示他們也反對(duì)數(shù)學(xué)奧數(shù)。

一位是陳省身老師。他說(shuō)，“對(duì)于研究來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)競(jìng)賽的問(wèn)題都不是好問(wèn)題?！标惱蠋熣f(shuō)得對(duì)，研究需要?jiǎng)?chuàng)新，而競(jìng)賽題都是別人做過(guò)的，當(dāng)然不能作為研究題。另一方面，對(duì)于已經(jīng)產(chǎn)生成果的研究題，可以將其中的基礎(chǔ)部分拿出來(lái)作為競(jìng)賽題。

但陳省身老師從來(lái)不反對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽。相反，聽(tīng)到我國(guó)連續(xù)獲得IMO第一名的消息，他總是很高興。

另一位是華羅庚老師。有人寫(xiě)文章說(shuō)華老師因?yàn)橹С直荣惗粰z查。事實(shí)可能恰恰相反。華老師一直支持競(jìng)爭(zhēng)。1978年他親自組織全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽并親自作報(bào)告和解答。

第三位是丘成桐老師。邱老師確實(shí)抱怨，他的幾個(gè)下屬獲得了奧數(shù)獎(jiǎng)，但他們的研究能力并不一定突出。不過(guò)，這只是說(shuō)明競(jìng)賽和研究有區(qū)別，并不代表邱老師反對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽。隨著許多金牌運(yùn)動(dòng)員獲得菲爾茲獎(jiǎng)，邱先生似乎不再抱怨了。

小孩子要不要學(xué)奧數(shù)？

近年來(lái)，奧數(shù)與高等教育掛鉤，一度成為奧數(shù)的“罪孽”。其實(shí)這也是非?？尚Φ?。因?yàn)樗c高等教育掛鉤，所以需要一定的權(quán)力。至少只有學(xué)校校長(zhǎng)或者教育部門(mén)的負(fù)責(zé)人才有這個(gè)權(quán)力。奧林匹克數(shù)學(xué)從何而來(lái)？因此，奧數(shù)顯然不應(yīng)該承擔(dān)這個(gè)罪名。

當(dāng)然，也有很多中學(xué)或大學(xué)看重奧數(shù)成績(jī)，愿意優(yōu)先考慮奧數(shù)獲獎(jiǎng)?wù)摺＿@是因?yàn)閵W數(shù)獲獎(jiǎng)的學(xué)生確實(shí)很優(yōu)秀，獎(jiǎng)牌也很可靠。在數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽中獲得良好聲譽(yù)是一種榮譽(yù)，而不是一種罪惡。

說(shuō)起學(xué)生負(fù)擔(dān)，掂量一下書(shū)包就知道：學(xué)生的負(fù)擔(dān)太重了！近年來(lái)，小學(xué)升初中考試取消了，但小學(xué)升初中、初中升初中、高中升大學(xué)的政策經(jīng)常發(fā)生變化，讓學(xué)生、老師和父母很困惑，不知道該怎么辦。學(xué)生不怕考試，就怕考試聽(tīng)不懂，不知道考什么。張景中院士說(shuō)得好：“如果平時(shí)學(xué)得多，考得少，負(fù)擔(dān)就輕。反之平時(shí)學(xué)得少，考得多，負(fù)擔(dān)就重。”因此，在我看來(lái)，奧數(shù)與學(xué)生負(fù)擔(dān)的加重毫無(wú)關(guān)系。

那么，我們?cè)搶W(xué)奧數(shù)嗎？這個(gè)應(yīng)該由學(xué)生自己決定。如果你有興趣，可以學(xué)習(xí)一下。如果你學(xué)習(xí)了一段時(shí)間，興趣消失了，你可以停止學(xué)習(xí)。家長(zhǎng)沒(méi)必要強(qiáng)迫孩子學(xué)奧數(shù)。

當(dāng)然，學(xué)習(xí)奧數(shù)也是有好處的。它可以開(kāi)闊你的視野，培養(yǎng)能力（如觀(guān)察、猜測(cè)、推理、演示的能力）。但通常情況下，想要學(xué)習(xí)奧數(shù)的學(xué)生應(yīng)該是數(shù)學(xué)好的學(xué)生，或者至少是在學(xué)校能學(xué)好數(shù)學(xué)的學(xué)生。有些家長(zhǎng)因?yàn)楹⒆訑?shù)學(xué)不好，就強(qiáng)迫孩子學(xué)奧數(shù)。那是錯(cuò)的。奧數(shù)學(xué)習(xí)不能當(dāng)輔導(dǎo)。不過(guò)，也有一些數(shù)學(xué)不太好的孩子學(xué)習(xí)奧數(shù)，他們可能會(huì)發(fā)現(xiàn)自己在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上也有很大的潛力。

有的家長(zhǎng)和學(xué)生一起學(xué)奧數(shù)，值得推廣。首先，學(xué)習(xí)可以增進(jìn)親情，讓你知道進(jìn)步和困難。最讓我感動(dòng)的是，一位七十多歲的爺爺正在帶著孫子學(xué)習(xí)奧數(shù)。事實(shí)上，老年人在小學(xué)學(xué)習(xí)奧數(shù)是避免老年癡呆癥的好方法。這一點(diǎn)在日本和其他國(guó)家都得到了證實(shí)。

也有人問(wèn)，為什么中國(guó)在IMO連續(xù)多年排名第一之后卻一度失去頭把交椅？

首先，奧數(shù)是一場(chǎng)比賽，而比賽總是會(huì)發(fā)生變化的。永遠(yuǎn)占據(jù)第一是不可能的，所以成為第二或第三也是很正常的。亞洲國(guó)家和地區(qū)的IMO得分突飛猛進(jìn)也是有道理的。東亞深受儒家文化影響，歷來(lái)重視學(xué)習(xí)。然而，近幾十年來(lái)，我們的一些教育工作者受到西方教育思想的影響，拋棄了傳統(tǒng)的教學(xué)方法。結(jié)果，教學(xué)質(zhì)量下降，優(yōu)秀學(xué)生沒(méi)有得到應(yīng)有的培養(yǎng)，差生依然貧困。

但可以發(fā)現(xiàn)，韓國(guó)率先扭轉(zhuǎn)了這一局面，重新提出實(shí)施精英教育，努力提高教師專(zhuān)業(yè)水平。許多數(shù)學(xué)家也參與了奧數(shù)競(jìng)賽的指導(dǎo)工作。日本也已經(jīng)在糾正其松懈的教育。

我認(rèn)為孔子的因材施教理念還是正確的。應(yīng)該對(duì)不同的人提供不同的教育，讓他們發(fā)揮各自的特長(zhǎng)，實(shí)現(xiàn)不同的發(fā)展。數(shù)學(xué)也是如此。奧數(shù)也可以說(shuō)是一種精英教育。

而且，數(shù)學(xué)家參與數(shù)學(xué)教育非常重要。就奧數(shù)而言，數(shù)學(xué)家的參與極大地提高了奧數(shù)的質(zhì)量和品味。學(xué)生們深受感染，對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義有了更深的認(rèn)識(shí)。一些學(xué)生從此決心成為數(shù)學(xué)家或科學(xué)家。

作者：山巖