怎么證明勾股定理的逆定理(畢達(dá)哥拉斯怎么證明勾股定理)

最早利用「面積」給出勾股定理證明的，是畢達(dá)哥拉斯。

如今，證明畢達(dá)哥拉斯定理的方法有數(shù)百種。

但利用該地區(qū)仍然是最方便的方式。

因?yàn)楣糯拿鞣e累的幾何知識(shí)，很多實(shí)際上都來(lái)自于大地測(cè)量學(xué)。

什么意思？大地測(cè)量學(xué)和勾股定理之間有什么關(guān)系？

我們慢慢說(shuō)吧。

萬(wàn)物起源

古人對(duì)萬(wàn)物的起源提出了許多假設(shè)。

相比之下，泰雷茲還是比較靠譜的。

古希臘的泰勒斯認(rèn)為“一切都是水”。

這種說(shuō)法似乎比一切都有編號(hào)的事實(shí)可靠得多。至少水確實(shí)是一個(gè)看得見(jiàn)、摸得著的實(shí)體。

泰勒斯觀察到水滋養(yǎng)萬(wàn)物，他觀察了云、雨、雪等天氣現(xiàn)象。雨不就是從天上降下來(lái)的嗎？

尼羅河口三角洲的沉積物似乎是由水帶來(lái)的。泰爾斯感覺(jué)到，水似乎在不斷變化。

這就是泰勒斯提出“一切都是水”的原因。

當(dāng)然，也有一種觀點(diǎn)認(rèn)為，古希臘人所說(shuō)的水實(shí)際上是指液體，而且更加抽象。

無(wú)論如何，和我們現(xiàn)在的理解是不一樣的。

泰雷茲無(wú)論如何，我們現(xiàn)代人還是一眼就能看出這個(gè)說(shuō)法不靠譜。

但對(duì)于古人來(lái)說(shuō)，這種錯(cuò)誤的討論仍然具有進(jìn)步的意義。至少這個(gè)解釋與神魔無(wú)關(guān)。

當(dāng)時(shí)的古希臘奉行多神教。

古希臘神話也相當(dāng)有趣。諸神眾多，而且都非常雜亂。

當(dāng)時(shí)，許多古希臘人也將一切現(xiàn)象歸結(jié)為神。不管怎樣，希臘諸神有很多，總有一位適合你。

別說(shuō)是古希臘，就是現(xiàn)在，很多人仍然認(rèn)為一切都是神做的。

泰勒斯的思想在那個(gè)時(shí)代非常有價(jià)值。如果這個(gè)世界上的一切都是由某個(gè)神靈控制的，如果神靈高興的話，地上的石頭都會(huì)飛上天，那么這個(gè)世界就沒(méi)有規(guī)則了。研究這個(gè)世界的自然規(guī)律變得毫無(wú)意義。

泰勒斯的思想恰恰否定了這一點(diǎn)。他認(rèn)為世界是可以理解的，一切事物都有其起源，而且這個(gè)起源是不變的。

所以我們可以用一套方法來(lái)推理自然世界。這就是理性的誕生。

因此，大家對(duì)泰雷茲評(píng)價(jià)很高。他有許多頭銜，如“第一哲學(xué)家”、“科學(xué)之父”，但他沒(méi)有留下任何著作或語(yǔ)錄。

金字塔的高度

然而，古希臘歷史學(xué)家希羅多德在他的著作中提到了泰勒斯。

他出生在小亞細(xì)亞半島的愛(ài)奧尼亞，這個(gè)地方面向愛(ài)琴海，今天是土耳其的一部分。泰勒斯的父親是腓尼基人，早年游歷過(guò)古埃及和巴比倫。

他精通幾何學(xué)和天文學(xué)，據(jù)說(shuō)還發(fā)現(xiàn)了小熊座。

小熊座尾巴末端的恒星是北極星。

一年的長(zhǎng)度可以根據(jù)小熊座恒星的運(yùn)動(dòng)來(lái)計(jì)算。泰勒斯是第一個(gè)將一年長(zhǎng)度計(jì)算為365天的古希臘人。

據(jù)說(shuō)他能夠通過(guò)幾何算法測(cè)量金字塔的高度。

幾何原理其實(shí)很簡(jiǎn)單。在地上立一根棍子，與地面垂直。當(dāng)影子B與棒A的長(zhǎng)度相同時(shí)，立即測(cè)量金字塔的長(zhǎng)度。我們事先知道金字塔底面的長(zhǎng)度C，所以很容易計(jì)算。從金字塔尖的陰影到金字塔底面中心的距離是金字塔的高度D。

當(dāng)然，柏拉圖在他的書(shū)中也提到了這個(gè)泰勒斯。據(jù)說(shuō)，這位思想家只仰望天空，行走時(shí)不看路。結(jié)果，他不小心掉進(jìn)了井里。

不管怎樣，當(dāng)時(shí)古埃及和美索不達(dá)米亞已經(jīng)發(fā)展了很多年，積累了大量的知識(shí)。因此，這些古希臘的早期圣賢也前往古埃及和美索不達(dá)米亞學(xué)習(xí)。帶回了很多幾何知識(shí)。

正如我們上次提到的，古代文明積累的幾何知識(shí)很大一部分來(lái)自于大地測(cè)量學(xué)。

例如，三角形的內(nèi)角和為180度。

這種經(jīng)驗(yàn)從何而來(lái)？

這種體驗(yàn)其實(shí)來(lái)自于室內(nèi)裝飾和地板。

地磚應(yīng)該是什么樣子才能覆蓋整個(gè)地板而不留縫隙？

一種是正三角形，也就是等邊三角形，另一種是正六邊形和正方形。

這是古人能想到的三種形狀的地磚。

鋪地磚還需要將幾個(gè)角拼在一起，逐漸形成直觀的感覺(jué)。

角度相加等于什么？

如果完全覆蓋，不留任何縫隙，應(yīng)該是360度。

畢達(dá)哥拉斯定理實(shí)際上與地板有關(guān)。您可以將2塊邊長(zhǎng)為1的正方形地磚沿對(duì)角線切成4個(gè)三角形。

然后用這4個(gè)三角形拼成一個(gè)大正方形，前后總面積保持不變。

不需要用勾股定理，只要看一個(gè)正方形的面積，就可以計(jì)算出對(duì)角線的長(zhǎng)度是平方根2。

當(dāng)然，這也是可以推導(dǎo)出畢達(dá)哥拉斯定理的特例。

隨著經(jīng)驗(yàn)的增加，你將發(fā)展出某種直覺(jué)并能夠猜測(cè)某些規(guī)則。

但這只是一個(gè)猜測(cè)。

泰勒斯時(shí)代出現(xiàn)了將經(jīng)驗(yàn)更進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為抽象概念的做法。這種抽象主要?dú)w功于泰勒斯。

比如古人看到月亮就知道月亮是圓的，看到輪子就知道輪子是圓的。

但是，自然界中真的存在絕對(duì)圓嗎？

不存在。

月亮不是每天都是圓的，月有陰晴圓缺。這在古代是很難做到的。

自行車長(zhǎng)時(shí)間騎行時(shí)，車輪很容易變形，必須通過(guò)調(diào)整各輻條的長(zhǎng)度來(lái)矯正形狀。這個(gè)過(guò)程俗稱“取龍”。

那么，什么是圓呢？

泰勒斯認(rèn)為這是一個(gè)抽象概念。在平面上，由距某一點(diǎn)等距的點(diǎn)組成的軌跡是圓。

這個(gè)概念圈簡(jiǎn)單又完美。

由此衍生出半徑和直徑的概念，它們只是抽象的概念。

泰勒斯最大的貢獻(xiàn)是他不滿足于在實(shí)踐中猜測(cè)或能夠計(jì)算數(shù)字。

他發(fā)現(xiàn)古巴比倫人用3R來(lái)計(jì)算圓的面積，但他們從古埃及人那里學(xué)到的是(8/9*2R)。

公式不同，哪一個(gè)是正確的？

這兩個(gè)答案當(dāng)然不可能都是正確的，至少有一個(gè)是錯(cuò)誤的。

我們現(xiàn)在知道這兩個(gè)公式都是錯(cuò)誤的。

古巴比倫將圓周率定為3，這個(gè)數(shù)字顯然只是一個(gè)粗略的估計(jì)，誤差大得離譜。

古埃及人使用的公式經(jīng)過(guò)換算，圓周率約為3.16。這個(gè)數(shù)字顯然比古巴比倫人的數(shù)字要好得多，但距離真實(shí)的圓周率仍然存在很大的誤差。

他們沒(méi)有意識(shí)到圓周率是一個(gè)“無(wú)理數(shù)”和一個(gè)“超越數(shù)”。

因此，泰雷茲意識(shí)到，一些顯而易見(jiàn)的經(jīng)驗(yàn)并不一定是正確的。

對(duì)于泰勒斯來(lái)說(shuō)，他的主要問(wèn)題不是我們知道什么，而是我們?yōu)槭裁粗馈?/p>

他第一個(gè)提出了「證明」的必要性。

驢橋定理

大家開(kāi)始學(xué)習(xí)平面幾何時(shí)，都會(huì)接觸到一些簡(jiǎn)單的命題，比如對(duì)頂角相等。

這個(gè)問(wèn)題首先由泰勒斯提出。

著名的驢橋定理也被泰勒斯證明了。

什么是“驢橋定理”？

也就是說(shuō)，等腰三角形的兩個(gè)底角相等。這就是所謂的“驢橋定理”。

有人問(wèn)，為什么叫“驢橋定理”呢？

這是古希臘的一個(gè)笑話。

意思是“白癡都過(guò)不了這一關(guān)”。