用牛頓切線(xiàn)法解方程fx=0(用牛頓切線(xiàn)法求方程f(x)=0)

這次老黃將分享如何使用牛頓正切法求解包含反三角函數(shù)的奇函數(shù)方程。牛頓切線(xiàn)法在《老黃學(xué)高等數(shù)學(xué)》系列視頻第211講中有詳細(xì)介紹。具體步驟分為三步：（1）確定根的大致位置；(2)用點(diǎn)序列{xn}來(lái)近似方程的根；(3)檢驗(yàn)近似根的絕對(duì)誤差。在實(shí)際操作中，會(huì)有調(diào)整。

求方程x-2arctanx=0的根的近似值，精確到0.001.

分析：在解題過(guò)程中為了方便描述，我們先記住函數(shù)f(x)=x-2arctanx。并發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)連續(xù)的奇函數(shù)。連續(xù)奇函數(shù)必須經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，即f(0)=0?？芍獂=0是原方程的根。另外，奇函數(shù)的性質(zhì)決定了方程要么沒(méi)有其他根。如果是，則必須有偶數(shù)個(gè)根（0除外）。并且它們以相反數(shù)字的形式成對(duì)出現(xiàn)。我們只需要找到正或負(fù)區(qū)間的所有根，然后就可以得到另一半?yún)^(qū)間的所有根，從而得到整個(gè)方程的所有實(shí)根。

為了確定根的大概位置，為求點(diǎn)序列{xn}做準(zhǔn)備，一般先求f(x)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。

由f(x)=(x^2-1)/(1+x^2)可以看出，函數(shù)有兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)x=1和x=-1。

由f'(x)=4x/(1+x^2)^2可知f'(1)0，f'(-1)0。即x=-1為函數(shù)的最大值點(diǎn)，x=1為函數(shù)的最小值點(diǎn)。這里最大值f(-1)0和最小值f(1)0表示開(kāi)區(qū)間(-1,1)上有一個(gè)方程的根，但是我們已經(jīng)確定了這個(gè)根，它是x=0。

并且當(dāng)x趨于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，f(x)小于0。當(dāng)x趨于正無(wú)窮大時(shí)，f(x)大于0。這里省略求極限的具體過(guò)程。

由此可知，方程有三個(gè)根，記作102。還確定了它們的大小關(guān)系，指定1為負(fù)根，2為正根。他們是彼此對(duì)立的。只要問(wèn)一個(gè)，另一個(gè)就確定了。接下來(lái)選擇求正根。

因?yàn)閒(2)=2-2arctan2-0.2140，f(3)=3-2arctan30.5020，所以2在開(kāi)區(qū)間(2,3)內(nèi)。這里你仍然需要使用計(jì)算器來(lái)找到正確函數(shù)的反函數(shù)。不要說(shuō)“你為什么不直接用計(jì)算器來(lái)求方程的根”，除非你真的能做到。

總結(jié)一下：牛頓切線(xiàn)法第一步，確定根的大致位置的一般步驟是：求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；使用一階導(dǎo)數(shù)確定穩(wěn)定點(diǎn)；利用二階導(dǎo)數(shù)確定極值點(diǎn)；根據(jù)極值，以及函數(shù)趨于無(wú)窮大的符號(hào)性質(zhì)，確定根的個(gè)數(shù)；測(cè)試函數(shù)在根附近的點(diǎn)的符號(hào)屬性；確定根的大致位置。

那么開(kāi)始第二步，首先明確根所在區(qū)間的單調(diào)性和凸性。顯然，這個(gè)函數(shù)在(2,3)上。一階導(dǎo)數(shù)大于0并且單調(diào)遞增。二階導(dǎo)數(shù)也大于0并且向下凸。屬于牛頓切線(xiàn)法求點(diǎn)序列的第二種情況，如下圖：（注意這個(gè)圖像不是f(x)圖像的一部分）

在這種情況下，從右側(cè)開(kāi)始尋找點(diǎn)。即從點(diǎn)(3,0.502)出發(fā)，畫(huà)曲線(xiàn)切線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)x1，發(fā)現(xiàn)x1約等于2.373。第一點(diǎn)通常不滿(mǎn)足精度要求。

只要繼續(xù)從x點(diǎn)作切線(xiàn)與x軸相交于x2點(diǎn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)x2約等于2.331。一般情況下，該點(diǎn)可以滿(mǎn)足精度要求。此時(shí)，您有兩個(gè)選擇。

按照老黃提供的方法，重復(fù)上述步驟，繼續(xù)尋找點(diǎn)x3，發(fā)現(xiàn)x3約等于2.331。顯然，2.331是精確到0.001的方程的近似根。

根據(jù)牛頓正切法的一般步驟，第三步是檢查x2或x3的誤差是否滿(mǎn)足精度要求。就是求[2,3]上的導(dǎo)數(shù)f(x)的最小值，結(jié)果約為0.6。然后將x2的函數(shù)值的絕對(duì)值除以這個(gè)最小值，得到的結(jié)果約等于0.，遠(yuǎn)小于0.001。表明x2的誤差滿(mǎn)足精度要求。因此2.331是方程最接近0.001的近似根。

有兩種方法，你喜歡哪一種就用哪一種。老黃自然更喜歡用自己的方法。但你應(yīng)該更相信牛頓切線(xiàn)法的權(quán)威。

寫(xiě)到這里，老黃突然發(fā)現(xiàn)自己的方法不準(zhǔn)確。老黃決定以后放棄這種方法。老黃之所以沒(méi)有放棄這篇文章。我想告訴大家，做數(shù)學(xué)研究的時(shí)候，感到尷尬是很正常的。哪里有錯(cuò)誤，哪里就有真理。至于為什么老黃的方法不嚴(yán)謹(jǐn)，是因?yàn)閤1和x2的差異可能很小，但x2和x3的差異可能會(huì)變大。

最后，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，方程的另一個(gè)近似值為-2.331。

函數(shù)f(x)的圖像如下所示。

最后以圖片的形式展示整個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程如下：

多找?guī)讉€(gè)問(wèn)題練習(xí)一下，你一定會(huì)喜歡這種求方程近似根的方法。