用牛頓切線(xiàn)法解方程fx=0(用牛頓切線(xiàn)法求方程f(x)=0)
這次老黃將分享如何使用牛頓正切法求解包含反三角函數(shù)的奇函數(shù)方程。牛頓切線(xiàn)法在《老黃學(xué)高等數(shù)學(xué)》系列視頻第211講中有詳細(xì)介紹。具體步驟分為三步:(1)確定根的大致位置;(2)用點(diǎn)序列{xn}來(lái)近似方程的根;(3)檢驗(yàn)近似根的絕對(duì)誤差。在實(shí)際操作中,會(huì)有調(diào)整。
求方程x-2arctanx=0的根的近似值,精確到0.001.
分析:在解題過(guò)程中為了方便描述,我們先記住函數(shù)f(x)=x-2arctanx。并發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)連續(xù)的奇函數(shù)。連續(xù)奇函數(shù)必須經(jīng)過(guò)原點(diǎn),即f(0)=0??芍獂=0是原方程的根。另外,奇函數(shù)的性質(zhì)決定了方程要么沒(méi)有其他根。如果是,則必須有偶數(shù)個(gè)根(0除外)。并且它們以相反數(shù)字的形式成對(duì)出現(xiàn)。我們只需要找到正或負(fù)區(qū)間的所有根,然后就可以得到另一半?yún)^(qū)間的所有根,從而得到整個(gè)方程的所有實(shí)根。
為了確定根的大概位置,為求點(diǎn)序列{xn}做準(zhǔn)備,一般先求f(x)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。
由f(x)=(x^2-1)/(1+x^2)可以看出,函數(shù)有兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)x=1和x=-1。
由f'(x)=4x/(1+x^2)^2可知f'(1)0,f'(-1)0。即x=-1為函數(shù)的最大值點(diǎn),x=1為函數(shù)的最小值點(diǎn)。這里最大值f(-1)0和最小值f(1)0表示開(kāi)區(qū)間(-1,1)上有一個(gè)方程的根,但是我們已經(jīng)確定了這個(gè)根,它是x=0。
并且當(dāng)x趨于負(fù)無(wú)窮大時(shí),f(x)小于0。當(dāng)x趨于正無(wú)窮大時(shí),f(x)大于0。這里省略求極限的具體過(guò)程。
由此可知,方程有三個(gè)根,記作102。還確定了它們的大小關(guān)系,指定1為負(fù)根,2為正根。他們是彼此對(duì)立的。只要問(wèn)一個(gè),另一個(gè)就確定了。接下來(lái)選擇求正根。
因?yàn)閒(2)=2-2arctan2-0.2140,f(3)=3-2arctan30.5020,所以2在開(kāi)區(qū)間(2,3)內(nèi)。這里你仍然需要使用計(jì)算器來(lái)找到正確函數(shù)的反函數(shù)。不要說(shuō)“你為什么不直接用計(jì)算器來(lái)求方程的根”,除非你真的能做到。
總結(jié)一下:牛頓切線(xiàn)法第一步,確定根的大致位置的一般步驟是:求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù);使用一階導(dǎo)數(shù)確定穩(wěn)定點(diǎn);利用二階導(dǎo)數(shù)確定極值點(diǎn);根據(jù)極值,以及函數(shù)趨于無(wú)窮大的符號(hào)性質(zhì),確定根的個(gè)數(shù);測(cè)試函數(shù)在根附近的點(diǎn)的符號(hào)屬性;確定根的大致位置。
那么開(kāi)始第二步,首先明確根所在區(qū)間的單調(diào)性和凸性。顯然,這個(gè)函數(shù)在(2,3)上。一階導(dǎo)數(shù)大于0并且單調(diào)遞增。二階導(dǎo)數(shù)也大于0并且向下凸。屬于牛頓切線(xiàn)法求點(diǎn)序列的第二種情況,如下圖:(注意這個(gè)圖像不是f(x)圖像的一部分)
在這種情況下,從右側(cè)開(kāi)始尋找點(diǎn)。即從點(diǎn)(3,0.502)出發(fā),畫(huà)曲線(xiàn)切線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)x1,發(fā)現(xiàn)x1約等于2.373。第一點(diǎn)通常不滿(mǎn)足精度要求。
只要繼續(xù)從x點(diǎn)作切線(xiàn)與x軸相交于x2點(diǎn),就會(huì)發(fā)現(xiàn)x2約等于2.331。一般情況下,該點(diǎn)可以滿(mǎn)足精度要求。此時(shí),您有兩個(gè)選擇。
按照老黃提供的方法,重復(fù)上述步驟,繼續(xù)尋找點(diǎn)x3,發(fā)現(xiàn)x3約等于2.331。顯然,2.331是精確到0.001的方程的近似根。
根據(jù)牛頓正切法的一般步驟,第三步是檢查x2或x3的誤差是否滿(mǎn)足精度要求。就是求[2,3]上的導(dǎo)數(shù)f(x)的最小值,結(jié)果約為0.6。然后將x2的函數(shù)值的絕對(duì)值除以這個(gè)最小值,得到的結(jié)果約等于0.,遠(yuǎn)小于0.001。表明x2的誤差滿(mǎn)足精度要求。因此2.331是方程最接近0.001的近似根。
有兩種方法,你喜歡哪一種就用哪一種。老黃自然更喜歡用自己的方法。但你應(yīng)該更相信牛頓切線(xiàn)法的權(quán)威。
寫(xiě)到這里,老黃突然發(fā)現(xiàn)自己的方法不準(zhǔn)確。老黃決定以后放棄這種方法。老黃之所以沒(méi)有放棄這篇文章。我想告訴大家,做數(shù)學(xué)研究的時(shí)候,感到尷尬是很正常的。哪里有錯(cuò)誤,哪里就有真理。至于為什么老黃的方法不嚴(yán)謹(jǐn),是因?yàn)閤1和x2的差異可能很小,但x2和x3的差異可能會(huì)變大。
最后,由奇函數(shù)的性質(zhì)可知,方程的另一個(gè)近似值為-2.331。
函數(shù)f(x)的圖像如下所示。
最后以圖片的形式展示整個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程如下:
多找?guī)讉€(gè)問(wèn)題練習(xí)一下,你一定會(huì)喜歡這種求方程近似根的方法。
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